一、函数

1. 函数的定义

设有两个变量x 和y，D 是一个非空数集。如果对\forall x \in D，变量y 按照某一确定的法则f 总有相应的值与之对应，则称y 是x 的函数，记为y=f(x)。数集D 称之为函数的定义域。

2. 函数的性质

（1）奇偶性

设函数y=f(x) 的定义区间I 关于原点对称，如果对于I 内任意一点x ，恒有f(-x)=f(x)，则称f(x) 为区间I 内的偶函数；如果恒有f(-x)=-f(x)，则称f(x) 为区间I 内的奇函数。

（2）有界性

设函数f(x) 在X 上有定义，如果存在常数M，当x \in X 时，恒有f(x)\leqslant M，则称f(x) 在X 上有上界；设函数f(x) 在X 上有定义，如果存在常数m，当x \in X 时，恒有f(x)\geqslant m，则称f(x) 在X 上有下界；设函数f(x) 在X 上有定义，如果存在常数M>0，当x \in X 时，恒有|f(x)|\leqslant M，则称f(x) 在X 上有界。

（3）周期性

设函数f(x) 在区间I 上有定义，若存在T>0，对任意的x \in I，有x±T\in I ，并且f(x+T)=f(x)，则称f(x) 为周期函数。使得上述关系式成立的最小正数T 称为f(x) 的最小正周期，简称为函数f(x) 的周期。

（4）单调性

设函数f(x) 在区间I 上有定义，如果对于该区间内的任意两点x_1<x_2，恒有f(x_1)<f(x_2)（或f(x_1)>f(x_2)），则称f(x) 在区间I 内单调增加（或单调减少）。

3. 反函数、复合函数、初等函数、分段函数、隐函数

（1）反函数

设函数y=f(x) 的定义域为D ，值域为R。若对任意y \in R，有唯一确定的x \in D，使得y = f(x)，则记为x=f^{-1}(y)，称其为y=f(x) 的反函数。

（2）复合函数

若函数u=\varphi (x) 在x_0 处有定义，函数y=f(u) 在u_0=\varphi(x_0) 处有定义，则函数y=f[\varphi(x)] 在x_0 处有定义，称y=f[\varphi(x)] 是由函数y=f(u) 和u=\varphi (x) 复合而成的复合函数，$u$ 为中间变量。

（3）初等函数

由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算得到的，并能用一个数学表达式表示的函数，称为初等函数。

注 六类基本初等函数为：

y=C （常数）；

y=x^a （a\in R是常数）；

y=a^x （a>0 且 a\neq1）；

y=\log_ax （a>0 且 a\neq1），当a=e时，记y=\ln x；

y=\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x；

y=\arcsin x,\arccos x,\arctan x,arccot x.

（4）分段函数

在定义域内的不同范围用不同表达式表示的函数称为分段函数。

注 常见的分段函数有：

1 绝对值函数x = \begin{cases} x,&x\geqslant 0, \\ -x,&x<0, \end{cases}

2 符号函数 \newcommand{\sign}[1]{\mathrm{sgn}(#1)} \sign {x} = \begin{cases} 1 &x>0, \\ 0 &x=0, \\ -1,& x<0, \end{cases}

3 取整函数[x] 表示不超过x 的最大整数，显然有[x]\leqslant x <[x]+1。

（5）隐函数

如果在方程F(x,y)=0中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这一方程的唯一的y 值存在，则称方程F(x,y)=0 在该区间内确定了一个隐函数y=y(x)。